Geçmişi hatırlayan matematik: Karmaşık sistemler için yeni model

Günümüzde trafik akışından finans piyasalarına, fiziksel olaylarda, biyolojik süreçlerden yapay zekâ sistemlerine, sinyal işleme ve görüntü işlemeye kadar birçok karmaşık yapı, geçmiş verilerin etkisini taşıyan dinamik davranışlar sergilemektedir. Ancak klasik matematiksel modeller, kesirli matematiksel modellerin özel bir hali olup, “hafıza etkisini” ve çoğu zaman değişken zaman gecikmelerini içermediklerinden, söz konusu modeller dinamik davranışları yeterince açıklayamamaktadırlar. İstanbul Medipol Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi Öğr. Üyesi Prof. Dr. Cemil Tunç’un yer aldığı araştırma ekibi ise karmaşık sistemlerin daha güvenilir biçimde modellenmesine yönelik sırasıyla kesirli mertebeden türev ve kesirli terimler içeren iki matematiksel modeller geliştirdi.

 “Fractal and Fractional” dergisinde yayımlanan“Ulam-Type Stability Results for Fractional Integro-Delay Differential and Integral Equations via the ψ-Hilfer Operator” başlıklı çalışmada, daha önceden ilgili literatürde incelemeyen değişken zaman gecikmeli “kesir mertebeli integro-diferansiyel denklem” ve “kesirli Volterra integral denklem”  modellerinin tek çözümünün  varlığı ve denklemlerin  Ulam anlamında kararlılığı araştırıldı.  Araştırmanın geçekleştirilmesi sırasında, sonuçların ispatlanmasında  “Banach daralama dönüşümü” ve “ψ-Hilfer operatörü” gibi temel araçlar kullanıldı. Söz konusu olan kesirli matematiksel modeller ayrıca   Sobolev uzaylarında da  uygulamalara sahiptir. Çalışmada araştırılan Ulam anlamında  karalılık problemi, bir sistemde meydana gelen küçük hata veya sapmaların sonuçları ne ölçüde etkilediğini inceliyor. Araştırmacılar, geliştirdikleri modellerin küçük değişiklikler karşısında büyük sapmalar üretmediğini matematiksel olarak kanıtladı. Bu durum, özellikle yapay zekâ, mühendislik, fizik, popülasyon dinamiği ve veri modelleme alanlarında kullanılan sistemlerin güvenilirliği açısından kritik önem taşıyor.

Çalışma, literatürde daha önce ele alınmayan çoklu değişken zaman gecikmeli yeni matematiksel modeller geliştirmesi bakımından özgün bir katkı sunuyor. Araştırma mevcut matematiksel modelleri genişleterek daha gerçekçi sistemlere uyarlanabilir hale getiriyor. Uygulanan temel yöntem ve teknikler yardımı ile geçmişe bağlı süreçlerin daha güvenilir biçimde analiz edilmesi mümkün hale gelirken, kesirli integro-diferansiyel ve integral denklemler alanındaki teorik ve niteliksel altyapıya da yeni katkılar sağlanıyor. Araştırmacılara göre çalışma, yalnızca matematik teorisine değil; mühendislik, ekonomi, veri bilimi ve yapay zekâ gibi disiplinlerde kullanılan modelleme tekniklerinin gelişimine de katkı sağlayabilecek yeni bir yaklaşım sunuyor.

KARMAŞIK SİSTEMLER İÇİN YENİ NESİL MATEMATİKSEL MODEL
Araştırmada, “kesirli diferansiyel denklemler” olarak adlandırılan ve geçmiş verilerin etkisini hesaba katabilen gelişmiş matematiksel yöntemler kullanıldı. Ekip, özellikle “ψ-Hilfer operatörü” adı verilen özel bir yöntem üzerinden iki yeni matematiksel model geliştirdi.

Bu modellerin en dikkat çekici özelliği, birden fazla değişken zaman gecikmesini aynı anda analiz edebilmesi oldu. Başka bir ifadeyle sistemin yalnızca mevcut durumunu değil, geçmişte farklı zamanlarda meydana gelen etkileri de hesaba katabilen bir yapı oluşturuldu. Araştırmacılara göre bu yaklaşım, gerçek yaşamda karşılaşılan karmaşık süreçlerin daha doğru modellenmesine imkân tanıyor.

Çalışmada geliştirilen modeller; fiziksel sistemler, mühendislik uygulamaları, sinyal işleme, görüntü işleme, biyolojik süreçler ve ekonomik modeller gibi geniş bir kullanım alanına sahip. Özellikle zaman gecikmesi içeren sistemlerde ortaya çıkan belirsizliklerin daha güvenilir biçimde analiz edilebilmesi hedefleniyor.

KÜÇÜK HATALARA KARŞI DAHA GÜVENİLİR SİSTEMLER
Araştırmanın temel odak noktalarından biri de sistemlerin “kararlılığı” oldu. Çalışmada kullanılan “Ulam–Hyers kararlılığı” yaklaşımı, bir sistemde meydana gelen küçük hata veya sapmaların sonuçları ne ölçüde etkilediğini inceliyor.

Araştırmacılar, geliştirdikleri modellerin küçük değişiklikler karşısında büyük sapmalar üretmediğini matematiksel olarak kanıtladı. Bu durum, özellikle yapay zekâ, mühendislik ve veri modelleme alanlarında kullanılan sistemlerin güvenilirliği açısından kritik önem taşıyor. Çünkü gerçek dünyadaki veriler çoğu zaman eksik, gürültülü veya hatalı olabiliyor. Geliştirilen yöntem ise bu tür küçük hatalara rağmen sistemin tutarlı sonuçlar verebilmesini mümkün kılıyor.

Çalışmada ayrıca modellerin “tek ve benzersiz çözüm” üretebildiği de gösterildi. Bu sonuç, aynı probleme farklı koşullarda çelişkili sonuçlar çıkmasının önüne geçilmesi açısından önemli görülüyor.

GELİŞMİŞ MATEMATİKSEL YÖNTEMLER KULLANILDI
Araştırma kapsamında geliştirilen teorik sonuçların doğrulanması için iki ayrı örnek model oluşturuldu. Araştırmacılar, bu örnekler üzerinden geliştirdikleri yaklaşımın yalnızca teorik değil, uygulama açısından da kullanılabilir olduğunu ortaya koydu.

Kanıt sürecinde “Banach sabit nokta yöntemi” adı verilen gelişmiş matematiksel analiz tekniklerinden yararlanıldı. Bunun yanında ψ-Hilfer operatörünün özellikleri kullanılarak gecikmeli sistemlerin çözüm davranışları ayrıntılı biçimde incelendi. Araştırmacılar, elde edilen sonuçların mevcut literatürde yer alan klasik gecikmesiz modelleri geliştirerek daha kapsamlı bir yapıya dönüştürdüğünü belirtti.

MÜHENDİSLİKTEN YAPAY ZEKÂYA GENİŞ KULLANIM ALANI
Araştırmada geliştirilen yeni modellerin özellikle hafıza etkisi taşıyan sistemlerde önemli avantajlar sağlayabileceği ifade edildi. Bu kapsamda çalışma; elektrik devreleri, iletişim sistemleri, biyolojik ağlar, nüfus modelleri, ekonomik tahmin sistemleri ve yapay zekâ algoritmaları gibi alanlarda kullanılabilecek yeni matematiksel altyapılar sunuyor.

Araştırmacılara göre çoklu zaman gecikmelerini hesaba katabilen bu yaklaşım, klasik modellere kıyasla daha gerçekçi sonuçlar üretilmesini sağlayabilir. Özellikle geçmiş verilerin bugünkü davranışları etkilediği sistemlerde, yeni yöntemin daha hassas analizler yapılmasına katkı sunabileceği değerlendiriliyor.

ÇALIŞMANIN LİTERATÜRE KATKISI VE ÖNEMİ
Çalışma, literatürde daha önce ele alınmayan çoklu değişken zaman gecikmeli yeni matematiksel modeller geliştirmesi bakımından özgün bir katkı sunuyor. Araştırmacılar, mevcut çalışmalarda genellikle gecikmesiz veya tek gecikmeli sistemlerin incelendiğini; bu araştırmada ise çoklu gecikme yapılarının aynı model içerisinde değerlendirildiğini vurguluyor.

Araştırma ayrıca mevcut matematiksel modelleri genişleterek daha gerçekçi sistemlere uyarlanabilir hale getiriyor. Geliştirilen yöntem sayesinde geçmişe bağlı süreçlerin daha güvenilir biçimde analiz edilmesi mümkün hale gelirken, kesirli integro-diferansiyel ve integral denklemler alanındaki teorik altyapıya da yeni katkılar sağlanıyor.

Araştırmacılara göre çalışma, yalnızca matematik teorisine değil; mühendislik, ekonomi, veri bilimi ve yapay zekâ gibi disiplinlerde kullanılan modelleme tekniklerinin gelişimine de katkı sağlayabilecek yeni bir yaklaşım sunuyor.